已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（）A．k=1，c=4B．k=1，c=-4C．k=3，c=4D．k=3，c=-4

Question

已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cx^k是等价无穷小，则（　　）

A．k=1，c=4
B．k=1，c=-4
C．k=3，c=4
D．k=3，c=-4

Answer 1

∵
正弦函数在x=0处的带佩亚诺型的泰勒展开式：
sinx＝

n

k＝1

(−1)k−1(x2k−1)/((2k−1)!)+o(x2k−1)
∴
函数在x=0处的三阶泰勒展开式分别为：
sinx＝x−(x3)/(3!)+o(x3)
sin(3x)＝3x−((3x)3)/(3!)+o(x3)
∴
f（x）=3sinx-sin（3x）
=3[x−(x3)/(3!)+o(x3)]−[3x−((3x)3)/(3!)+o(x3)]
=3x−(x3)/(2)−3x+(9x3)/(2)+o(x3)
=4x³+o（x³）
∴

lim

x→0

(3sinx−sin(3x))/(cxk)＝

lim

x→0

(4x3+o(x3))/(cxk)=1
对于分子，分母均为多项式且x→0来讲，当极限为非零常数时，分子和分母的最高幂次相等
∴k=3
∴c=4
故选：C