如图，抛物线y=ax2+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形

Question

如图，抛物线y=ax²+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

（1）将A（4，0），B（1，0）的坐标代入y=ax²+bx-2得

16a+4b−2＝0

a+b−2＝0

，
解得

a＝−(1)/(2)

b＝(5)/(2)

，
故此抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+(5)/(2)x-2．

（2）存在．
如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-(1)/(2)m²+(5)/(2)m-2，
AM=4-m，PM=-(1)/(2)m²+(5)/(2)m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当(AM)/(PM)=(AO)/(OC)=(2)/(1)时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-(1)/(2)m²+(5)/(2)m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
则P（2，1），
②当(AM)/(PM)=(AO)/(OC)=(1)/(2)时，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-(1)/(2)m²+(5)/(2)m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去），
故符合条件的点P的坐标为P（2，1）．

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4）D点的纵坐标为-(1)/(2)t²+(5)/(2)t-2，
过D作y轴的平行线交AC于E，
∵由题意可求得直线AC的解析式为y=(1)/(2)x-2，
∴E点的坐标为（t，(1)/(2)t-2），
∴DE=-(1)/(2)t²+(5)/(2)t-2-（(1)/(2)t-2）=-(1)/(2)t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=(1)/(2)×（-(1)/(2)t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，∴D（2，1）．