（2013•顺义区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AD的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径为2，cosB=35

Question

（2013•顺义区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为

AD

的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为2，cosB=(3)/(5)，求CE的长．

Answer 1

（1）BC与⊙O相切
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）∵⊙O的半为2
∴AC=4，
∵cosB=(3)/(5)=(BC)/(AB)，
∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴(EA)/(EC)=(AF)/(AC)=(1)/(2)，
∴EC=2EA，
设EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=(4√(5))/(5)（负数舍去），
即CE=(8)/(5)√(5)．