（2010•普陀区一模）已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，

Question

（2010•普陀区一模）已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上，
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当BP=2时，求CF的长；
（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6．（1分）
∵DP⊥AB，BP=x，
∴BD=2x．（1分）
又∵四边形DEFG是正方形，
∴EF⊥BC，EF=DE=y，
∴EC＝(√(3))/(3)y．（1分）
∴2x+y+(√(3))/(3)y＝6，（2分）
∴y＝(√(3)−3)x+9−3√(3)．（1分）
（6-3√(3)≤x＜3）（1分）

（2）当BP=2时，y＝(√(3)−3)×2+9−3√(3)=3−√(3)．（1分）
CF＝

作业帮用户 2017-10-11

问题解析

（1）在△BDP中，根据已知条件得BD=2x，在△CEF中，根据已知条件得EC=

(√(3))/(3)，得y关于x的函数解析式．再求出x的定义域．
（2）BP=2，根据（2）得到的y关于x的函数解析式求出CF的长．
（3）假设△GDP是直角三角形，得△APF是直角三角形，得PF的x、y的函数解析式．再把（2）得到的关于x、y的函数解析式代入PF的函数解析式中，得到BP的长．

名师点评

本题考点：

等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．

考点点评：

此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角形相似、函数等知识．
难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

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