在数{an}中，a1=1，a2=，an+1-an+an-1=0（n≥2，且n∈N*）（I）若数列{an+1+λan}是等比数列，求实数λ；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设Sn=求证：Sn＜．

Question

在数{a_n}中，a₁=1，a₂=，a_n+1-a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（I）若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，求实数λ；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=求证：S_n＜．

Answer 1

（I）由数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，可设a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），根据条件即可得到结论；
（II）n≥2时，a_n-a_n-1=3^n-1①，a_n-3a_n-1=②，从而可求数列的通项；
（III）证明（n≥2），利用放缩法，可得结论．
（I）【解析】
由数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，可设a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1）（n≥2）
∴a_n+1+（λ-μ）a_n-λμa_n-1=0，
∵a_n+1-a_n+a_n-1=0，
∴，
∴λ=-或λ=-3；
（II）【解析】
由上知，n≥2时，a_n-a_n-1=3^n-1①
∴a_n-3a_n-1=②
由①②可得；
（III）证明：由（II）知，＞0，
∵a_n-3a_n-1=，∴a_n＞3a_n-1
∴（n≥2）
∴S_n＜=-＜
∴S_n＜．