求可导函数f（x）,使他满足f（x）=∫（0到3x）f（t/3）dt+e^2x

Question

求可导函数f（x）,使他满足f（x）=∫（0到3x）f（t/3）dt+e^2x

Answer 1

f（x）=∫（0到3x）f（t/3）dt+e^2x
两边对x求导得：
f'(x)=3f(x)+2e^2x
或：f'(x)-3f(x)=2e^2x.这是一阶线性微分方程.
f'(x)-3f(x)=0的通解是f(x)=Ce^(3x)
因为2不是根,故设特解Y=Ae^2x,代入方程得：A=-2
方程f'(x)=3f(x)+2e^2x的通解为：f(x)=Ce^(3x)-2e^2x
因为：f(0）=1 代入通解得：C=2
所以：f(x)=2e^(3x)-2e^2x