设f（x），g（x）在（-∞，+∞）上有定义，且x=x1是f（x）的唯一间断点，x=x2是g（x）的唯一间断点，则（）A．当x1=x2时，f（x）+g（x）必有唯一的间断点x=x1B．当x1≠x2时，f（x）+g（x）必

Question

设f（x），g（x）在（-∞，+∞）上有定义，且x=x₁是f（x）的唯一间断点，x=x₂是g（x）的唯一间断点，则（　　）

A．当x₁=x₂时，f（x）+g（x）必有唯一的间断点x=x₁
B．当x₁≠x₂时，f（x）+g（x）必有两个间断点x=x₁与x=x₂
C．当x₁=x₂时，f（x）g（x）必有唯一间断点x=x₁
D．当x₁≠x₂时，f（x）g（x）必有两个间断点x=x₁与x=x₂

Answer 1

选项B正确，可以利用反证法证明．
令F（x）=f（x）+g（x），假设F（x）在x=x₁ 处连续，由f（x）=F（x）-g（x）及已知条件g（x）仅在x=x₂ 处间断，其他处均连续，于是f（x）在x=x₁ 处连续，这与已知条件矛盾，故F（x）在x=x₁ 间断．同理推出F（x）在x=x₂ 处亦间断．
选项A、C、D均错误，可以举出反例．
A的反例：取f（x）=

1，  x＞0

−1，  x≤0

，g（x）=-f（x），而f（x）+g（x）=0无间断点．
C的反例：取f（x）与g（x）同A，此时f（x）g（x）=-1无间断点．
D的反例：取f（x）=

1，  x＞0

0，  x≤0

，g（x）=

0，  x＞−1

1，  x≤−1

，则f（x）g（x）=0无间断点．
综上，正确选项为B．
故选：B．