在直角坐标平面内，已知抛物线y=a（x-1）2（a＞0）顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC为直角三角形时，求a的值．

Question

在直角坐标平面内，已知抛物线y=a（x-1）²（a＞0）顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC为直角三角形时，求a的值．

Answer 1

∵y=a（x-1）²（a＞0）的顶点为A，所以点A的坐标为（1，0）．
由 x=0，得y=a，所以点C的坐标为（0，a），
由 x=3，得y=4a，所以点B的坐标为（3，4a），
所以有 

AC2＝1+a2

AB2＝4+16a2

BC2＝9+9a2

，
（1）若 BC²=AC²+AB²
得  9+9a²=1+a²+4+16a²
即   a2＝(1)/(2)，a＝±(√(2))/(2)．因为a＞0，
∴a＝(√(2))/(2)；
（2）若 AB²=AC²+BC²
得  4+16a²=1+a²+9+9a²
即   a²=1，a=±1．
∴a＞0，
∴a=1；       
（3）若 AC²=AB²+BC²
得  1+a²=4+16a²+9+9a²
即   a2＝−(1)/(2)，无解．
综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或(√(2))/(2)．