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(2005•黑龙江)王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),
题目详情
(2005•黑龙江)王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积.
▼优质解答
答案和解析
本题要分等腰三角形的顶角是锐角或钝角三种情况讨论解答.
当顶角为锐角时,利用勾股定理求出AE,添加辅助线可求出△ABC的面积.
当顶角为钝角时,作等腰三角形边上的高,利用比例求出AF即可求解.
当顶角为直角时,连接AD,求出BD=AD=DC,求出BD、BC,即可求解
【解析】
根据题意,有三种情况:
(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1所示),
∵D为AB中点,
∴AD=DB,
∵AD=DB=20米,DE=15米,
∴AE=
=25(米),
过C点作CF⊥AB于F,
∴DE∥CF,
∴△ADE∽△AFC,
∴
,
∴CF=
=24(米),
∴S△ABC=
AB•CF=
×40×24=480(米2);
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2所示),
过A点作AF⊥BC于F点,
∵AD=BD=20米,DE=15米,
∴BE=25米,
∵∠B=∠B,∠BDE=∠AFB,
∴△BDE∽△BFA,
∴
=
=
,
∴BF=
=32(米),
∴BC=2×32=64(米),AF=24米,
∴S△ABC=
×64×24=768(米2);
(3)当等腰三角形是等腰直角三角形时,不符合情况.如图:![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da977ded8a89bb551f8198718e38f.jpg)
∵∠BAC=90°,∠B=45°;∠BED=90°,∠EDB=45°,
∴∠B=∠EDB,BE=DE,
但∵BE=20米,DE=15米.
所以不符合情况.
当顶角为锐角时,利用勾股定理求出AE,添加辅助线可求出△ABC的面积.
当顶角为钝角时,作等腰三角形边上的高,利用比例求出AF即可求解.
当顶角为直角时,连接AD,求出BD=AD=DC,求出BD、BC,即可求解
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faf2b2119313b07e8c4a7eb809d7912396dd8c8e.jpg)
根据题意,有三种情况:
(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1所示),
∵D为AB中点,
∴AD=DB,
∵AD=DB=20米,DE=15米,
∴AE=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/adaf2edda3cc7cd9d4da1a693c01213fb90e918e.jpg)
过C点作CF⊥AB于F,
∴DE∥CF,
∴△ADE∽△AFC,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfac09be85eb18f8c5495ee7b8e.jpg)
∴CF=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ca1349540923dd54d48489d8d409b3de9d82488e.jpg)
∴S△ABC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cb8065380cd79123dd34bac4a8345982b3b780ad.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/adaf2edda3cc7cd9d4f91a693c01213fb90e91ad.jpg)
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2所示),
过A点作AF⊥BC于F点,
∵AD=BD=20米,DE=15米,
∴BE=25米,
∵∠B=∠B,∠BDE=∠AFB,
∴△BDE∽△BFA,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce6937e7839745d688d53f208e.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5fdf8db1cb13495489cac6d4534e9258d0094aad.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d1160924ab18972b14cd2e7ae3cd7b899f510a8e.jpg)
∴BF=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f082029565bf8f4efbfbedaa641b8e.jpg)
∴BC=2×32=64(米),AF=24米,
∴S△ABC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aec379310a55b319300eacc546a98226cefc178e.jpg)
(3)当等腰三角形是等腰直角三角形时,不符合情况.如图:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da977ded8a89bb551f8198718e38f.jpg)
∵∠BAC=90°,∠B=45°;∠BED=90°,∠EDB=45°,
∴∠B=∠EDB,BE=DE,
但∵BE=20米,DE=15米.
所以不符合情况.
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