韩信点兵原理中如果余数不同应怎么计算当余数相同时可直接加余数,不同时怎么计算.

Question

韩信点兵原理中如果余数不同应怎么计算
当余数相同时可直接加余数,不同时怎么计算.

Answer 1

中国剩余定理
民间传说着一则故事——“韩信点兵”.
秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营.当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排,结果多出2名；接着命令士兵5人一排,结果多出3名；他又命令士兵7人一排,结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人.汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”.于是士气大振.一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团.交战不久,楚军大败而逃.
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.
在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题：
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.
这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.
① 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?
除以3余2的数有：
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….
它们除以12的余数是：
2,5,8,11,2,5,8,11,….
除以4余1的数有：
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
它们除以12的余数是：
1, 5, 9, 1, 5, 9,….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.
如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5＋12×整数,
整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.
②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.
先列出除以3余2的数：
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
再列出除以5余3的数：
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30,…,
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位.
韩信被贬淮阴侯时高祖找他聊天 高祖说：韩信你说寡人我能带多少兵. 韩信说：10万绝对不能超过10万.高祖又说：你呢.韩信说：韩信点兵 多多益善. 高祖说：那你不是比我还厉害吗,那你为什么会被寡人抓到呢.韩信说：皇上您是将之将 我是兵之将 当然不如陛下您.