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已知函数fx=xlnx,gx=x∧3+ax∧2-x+2.如果函数gx得单调区间为(-1/3.1求函数gx得解析式)2.如果在1的条件下.求函数gx的图像过点p(-1/3.1)的切线方程要详细过程
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已知函数fx=xlnx,gx=x∧3+ax∧2-x+2.如果函数gx得单调区间为(-1/3.1求函数gx得解析式)2.如果在1的条件下.求函数gx的图像过点p(-1/3.1)的切线方程要详细过程
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答案和解析
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为(-1/3,1),求函数g(x)的解析式
(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)的图像过点p(1,1)的切线方程
(3)对一切的x属于(0,+无穷),2f(x)小于等于g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求导,g’(x)=3x2+2ax-1
g’(1)=2+2a=0
a=-1
所以g(x)=x3-x2-x+2
(2)斜率k=g’(1)=0,
切线方程为,y=1
(3)
2f(x)≤g'(x)+2
=>g'(x)+2-2f(x)>=0
=>3x2+2ax-1+2-2xlnx≥0
=>3x+2a+1/x-2lnx≥0
=>3x+1/x-2lnx≥-2a
=>lnx-3x/2-1/2x≤a
令:h(x)=lnx-3x/2-1/2x==>h(x) ≤ a
h'(x)=1/x-3/2+1/2x2=0
=>3x2-2x-1=0
=> (3x+1)(x-1)=0 [x属于(0,+无穷)]
=>x=1
因为x>0,所以函数在(0,1]为增函数、[1,+∞)为减函数
极大值就是最大值为h(1)=-2
所以a∈[-2,+∞)
(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)的图像过点p(1,1)的切线方程
(3)对一切的x属于(0,+无穷),2f(x)小于等于g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求导,g’(x)=3x2+2ax-1
g’(1)=2+2a=0
a=-1
所以g(x)=x3-x2-x+2
(2)斜率k=g’(1)=0,
切线方程为,y=1
(3)
2f(x)≤g'(x)+2
=>g'(x)+2-2f(x)>=0
=>3x2+2ax-1+2-2xlnx≥0
=>3x+2a+1/x-2lnx≥0
=>3x+1/x-2lnx≥-2a
=>lnx-3x/2-1/2x≤a
令:h(x)=lnx-3x/2-1/2x==>h(x) ≤ a
h'(x)=1/x-3/2+1/2x2=0
=>3x2-2x-1=0
=> (3x+1)(x-1)=0 [x属于(0,+无穷)]
=>x=1
因为x>0,所以函数在(0,1]为增函数、[1,+∞)为减函数
极大值就是最大值为h(1)=-2
所以a∈[-2,+∞)
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