老王现年不超过60岁.他有九个孩子,老王发现今年自己年龄的平方正好等于这九个小孩年龄的平方之和（所有人的年龄都是正整数）,且小孩们的年龄都不相同且正好成等差数列.请问老王今年

Question

老王现年不超过60岁.他有九个孩子,老王发现今年自己年龄的平方正好等于这九个小孩年龄的平方之和（所有人的年龄都是正整数）,且小孩们的年龄都不相同且正好成等差数列.请问老王今年几岁?

Answer 1

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n×（n＋1）×（2n＋1）／6
x^2=a1^2+a2^2+...+a9^2
=a1^2+(a1+d)^2+(a1+2d)^2+...+(a1+8d)^2
=9a1^2+2(1+2+3+...+8)a1d+(1+4+9+...+64)d^2
=9a1^2+(1+8)8a1d+8(8+1)(2*8+1)d^2/6
=9a1^2+72a1d+204d^2
=3(3a1^2+24a1d+68d^2)
右边需要是完全平方数,所以x可以被3整除,d=3k,k≥1
(x/3)^2=a1^2+24a1k+204k^2