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如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P是x轴上一动点,在直线y=x上是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对
题目详情
如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P是x轴上一动点,在直线y=x上是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
如1,∵P是x轴上一动点,点Q在直线y=x上,
∴设P(x,0),Q(a,a),
当AB是平形四边形的边时,
∵AB=3-1=2,
∴PQ=AB=2,
∴a=±2,
∴P1(-2,0),Q1(-2,-2)或P2(2,0),Q2(2,2);
如图2,当AB是平形四边形的对角线时,
BQ=AP是a2+(a-3)2=x2+12,即2a2-6a=x2-8①;
PB=AQ是a2+(a-1)2=32+x2,即2a2-2a=x2-9②.
①-②得a=4,把a=4代入①得,17=1+x2,
解得x=±4,
∴P3(-4,0),Q3(4,4)或P4(4,0),Q4(4,4)(舍去).
∴设P(x,0),Q(a,a),
当AB是平形四边形的边时,
∵AB=3-1=2,
∴PQ=AB=2,
∴a=±2,
∴P1(-2,0),Q1(-2,-2)或P2(2,0),Q2(2,2);
如图2,当AB是平形四边形的对角线时,
BQ=AP是a2+(a-3)2=x2+12,即2a2-6a=x2-8①;
PB=AQ是a2+(a-1)2=32+x2,即2a2-2a=x2-9②.
①-②得a=4,把a=4代入①得,17=1+x2,
解得x=±4,
∴P3(-4,0),Q3(4,4)或P4(4,0),Q4(4,4)(舍去).
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