如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,BD⊥AC于D,E为DC上任一点,AC⊥BE于G,交BD于F(1)当E运动时,求证：BF+DE=√2/2AB(2)若E在DC延长线上时,其他条件不变,你能得到类似（1）的结论吗?证明你的结论.

Question

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,BD⊥AC于D,E为DC上任一点,AC⊥BE于G,交BD于F
(1)当E运动时,求证：BF+DE=√2/2AB
(2)若E在DC延长线上时,其他条件不变,你能得到类似（1）的结论吗?证明你的结论.

Answer 1

按照你的题,画不出图.
在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,BD⊥AC于D,E为DC上任意一点,AG⊥BE于G,交BD于F
(1)当E运动时,求证：BF+DE=√2/2AB
(2)若E在DC延长线上时,其他条件不变,你能得到类似（1）的结论吗?证明你的结论
1、∵BD⊥AC,BA=BC,BD=BD
∴Rt△ABD≌Rt△BCD ,△ABC是等腰三角形,∠BAC=∠C=45°
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠BCE=∠ABF=45°
∵AG⊥BE
∴∠AGB=∠ADF=90°
∵∠BFG=∠AFD
∴△ADF∽△BFG
∴∠FBG=∠FAD
即∠DBE=∠FAD
∴∠BAC-∠FAD=∠CBD-∠DBE
即45°-∠FAD=45°-∠DBE
∴∠BAF=∠CBE
在△ABF和△CBE中
BA=BC
∠C=∠ABF=45°
∠BAF=∠CBE
∴△ABF≌△CBE
∴BF=EC
∴CD=DE+EC=DE+BF
∵CD=AD=1/2AC
AC²=AB²+BC²=2AB²
AC=√2AB
∴DE+BF=√2/2AB
2、∵∠ABC=90°,BA=BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠BCA=45°
∵BD⊥AC
∴BD是角平分线,是中线
∴∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC=45°,AD=CD=1/2AC
∴∠ABF=180°-∠ABD=135°
∠BCE=180°-∠BCA=135°
∴∠ABF=∠BCE
∵AG⊥BE于G
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵∠ABG+∠ABC+∠CBE=180°
∠ABG+∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°
∴∠BAG=∠CBE
即∠BAF=∠CBE
在△ABF和△BCE中
BA=BC
∠ABF=∠BCE
∠BAF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴BF=CE
∴DE-CE=DE-BF=CD
∵CD=AD=1/2AC
AC²=AB²+BC²=2AB²
AC=√2AB
∴DE-BF=√2/2AB