设m、n为正整数,且m≠2,如果对一切实数t,二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小|2t+n|,求m、n的值.

Question

设m、n为正整数,且m≠2,如果对一切实数t,二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小
|2t+n|,求m、n的值.

Answer 1

因为一元二次方程x2+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3,所以二次函数y=x2+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|．
由题意,|mt+3|≥|2t+n|,即（mt+3）2≥（2t+n）2,即（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0．
由题意知,m2-4≠0,且上式对一切实数t恒成立,
所以
m2−4＞0
△＝(6m−4n)2−4(m2−4)(9−n2)≤0
⇒
m＞2
4(mn−6)2≤0
⇒
m＞2
mn＝6
,
所以
m＝3
n＝2
或
m＝6
n＝1.