如图，在Rt△ACB中，∠C=90゜，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC于E点、交BC于F点，EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，求证：AM=ON．

Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90゜，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC于E点、交BC于F点，EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
求证：AM=ON．

Answer 1

证明：连接OC，EF，
∵在Rt△ACB中，∠C=90゜，OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠C+∠EOF=180°，
∴C，E，O，F四点共圆，
∴∠ECO=∠EFO，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OC=OB=(1)/(2)AB，
∴∠A=∠ECO，
∴∠A=∠EFO，
∵EM⊥AB，
∴∠AME=∠EOF=90°，
∴△EOF∽△EMA，
∴(AM)/(EM)=(OF)/(EO)，
∵FN⊥AB，EM⊥AB，
∴∠FON+∠NFO=90°，
∴∠EOM+∠MEO=90°，
∵∠EOM+∠FON=90°，
∴∠MEO=∠FON，
∴△EOM∽△OFN，
∴(ON)/(EM)=(OF)/(EO)，
∴(AM)/(EM)=(ON)/(EM)，
∴AM=ON．