x^2+y^2+z^2=a^2被z=a/4与z=a/2之间的面积?为什么不可以用定积分用圆周2πr（2π根号下a^2-z^2)乘以dz书上用的二重积分的应用,但我用上续方法

Question

x^2+y^2+z^2=a^2 被z=a/4与z=a/2之间的面积?为什么不可以用定积分用圆周2πr（2π根号下a^2-z^2)乘以dz
书上用的二重积分的应用,但我用上续方法

Answer 1

此题除了用二重积分求解,完全可以用定积分(旋转体的侧面积)求解!解法如下.
根据此题的意思,把所求面积看成求圆x²+y²=a²(从x=a/4到x=a/2部分)绕x轴旋转的侧面积.
∵x²+y²=a² ==>y=√(a²-x²) (取y＞0)
==>y'=-x/√(a²-x²)
==>弧长微元dL=√(1+y'²)dx=adx/√(a²-x²)
==>面积微元dS=2πydL=2πaydx/√(a²-x²)
故 所求面积=∫dS
=∫2πaydx/√(a²-x²)
=2πa∫√(a²-x²) *[dx/√(a²-x²)]
=2πa∫dx
=2πa*(a/2-a/4)
=2πa*(a/4)
=πa²/2.