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已知f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,f(x)>0求证|f''(x)/f(x)|在(0,1)上的积分
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已知f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,f(x)>0求证|f''(x)/f(x)|在(0,1)上的积分
▼优质解答
答案和解析
感觉此题不好,因为积分可能不存在.
考虑f(x)的最大值点f(c)=A>0,于是[f(c)-f(0)]/(c-0)=f'(a),[f(c)-f(1)]/(c-1)=f'(b),即A/c=f'(a),A/(1-c)=-f'(b),因此积分（从0到1）|f''(x)|/f(x)dx>=积分（从a到b）|f''(x)|/f(x)dx>=|积分（从a到b）f''(x)|/Adx=|f'(b)-f'(a)|/A=1/c+1/(1-c)>=4
考虑f(x)的最大值点f(c)=A>0,于是[f(c)-f(0)]/(c-0)=f'(a),[f(c)-f(1)]/(c-1)=f'(b),即A/c=f'(a),A/(1-c)=-f'(b),因此积分（从0到1）|f''(x)|/f(x)dx>=积分（从a到b）|f''(x)|/f(x)dx>=|积分（从a到b）f''(x)|/Adx=|f'(b)-f'(a)|/A=1/c+1/(1-c)>=4
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