如图，扇形AOB的半径为2，∠AOB=120°，点P、Q是半径OA、OB上的动点，M是AB上一点，且MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，I是△MPQ的内心，则MI的长度的范围是（）A.1≤MI≤3B.32≤MI≤1C.12≤MI≤32D.3-1

Question

如图，扇形AOB的半径为2，∠AOB=120°，点P、Q是半径OA、OB上的动点，M是

AB

上一点，且MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，I是△MPQ的内心，则MI的长度的范围是（　　）

A. 1≤MI≤

√(3)

B.

(√(3))/(2)≤MI≤1

C.

(1)/(2)≤MI≤(√(3))/(2)

D.

√(3)-1≤MI≤1

Answer 1

①当点P，Q分别为OA，OB的中点时，MI有最大值，
如图1，连接OM，PI，
∵∠AOB=120°，OP=OQ，
∴∠OPQ=∠OQP=30°，
∵MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，
∴∠MPQ=∠MQP=60°，
∴△PQM是等边三角形，
∵I是△MPQ的内心，
∴OM过点I，
∴IM=OI=(1)/(2)OM=1；
②当P或Q与O重合时，IM有最小值，如图2，过作IE⊥PQ，IF⊥MQ，
则四边形IEQF是正方形，
∵I是△MPQ的内心，
∴IF是内切圆的半径，∠IMQ=30°，
∴IF=(1)/(2)（PM+PQ+MQ），
∵∠AOB=120°，MP⊥OA，
∴∠MPQ=30°，
∵PM=2，
∴PQ=√(3)，MQ=1，
∴IF=(√(3)-1)/(2)，
∴MI=√(3)-1，
∴MI的长度的范围是：√(3)-1≤IM≤1，
故选D．