（本小题满分12分）如图，在边长为a的正方体中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点．（1）求点P到平面MNQ的距离；（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

Question

（本小题满分12分）
如图，在边长为 a 的正方体 中， M 、 N 、 P 、 Q 分别为 AD 、 CD 、 、   的中点．
（1）求点 P 到平面 MNQ 的距离；
（2）求直线 PN 与平面 MPQ 所成角的正弦值．

Answer 1

方法1（几何法）：∵ 平面 ，∴点 P 到平面 MNQ 的距离等于点 B 到平面 MNQ 的距离．设 ．∵平面 MNQ 平面 ABCD ，∴由 得 平面 MNQ ，∴点 P 到平面 MNQ 的距离为 ．……………5分

（2）设点 N 到平面 MNQ 的距离为 d ．可以求得 ，
∴ ． ．由 得
，∴ ．……………10分
设直线 PN 与平面 MPQ 所成的角为 ，则 ．故直线 PN 与平面 MPQ 所成的角的正弦值为 ．……………12分
方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
（1） 是平面 MNQ 的一个法向量．
∵ ，
∴点 P 到平面 MNQ 的距离 ．……………5分
（2）设平面 MPQ 的一个法向量为 ． ．
由 得 得
． ．……………10分
．设直线 PN 与平面 MPQ 所成的角为 ，则
．……………12分

略