有一个非特殊梯形,两腰间有一平行上下底的线AB分别求使上下两梯形相似、面积相等的长AB和过梯形对角线交点的平行线的AB长

Question

有一个非特殊梯形,两腰间有一平行上下底的线AB
分别求使上下两梯形相似、面积相等的长AB和过梯形对角线交点的平行线的AB长

Answer 1

1、上下两梯形相似,如图【图1】,a/AB=AB/b,得AB^2=a*b,即,AB=√ab.
2、CD是梯形两腰的中点,CD长度=(a+b)/2.则CD分割的梯形,下梯形比上梯形面积多,h*(b-a)/4.所以梯形ABCD的面积是h*(b-a)/8.
△DFG的底边FG=(b-a)/2,△DFG的高是h/2.
设△DEB的底边EB长为x,高为y.
由于△DFG与△DEB是相似三角形,则有
x:y=((b-a)/2):(h/2)
y=h*x/(b-a)
梯形ABCD的面积=(CD+AB)*y/2=((a+b)/2+(a+b)/2+x)*h*x/((b-a)*2)=h*(b-a)/8
得：
(a+b+x)*x=(b-a)*(b-a)/4
x^2+(a+b)*x+(a+b)^2/4=((a+b)^2+(a-b)^2)/4
(x+(a+b)/2)^2=(2*a^2+2*b^2)/4
x=√(2*a^2+2*b^2)/2-(a+b)/2
AB=(a+b)/2+√(2*a^2+2*b^2)/2-(a+b)/2
=√(2*a^2+2*b^2)/2
3、过梯形对角线交点的平行线的AB长,如图【图3】,
△MNO与△QPO相似,则有ha:hb=a:b,可以推出：
ha:h=a:(a+b)
hb:h=b:(a+b)
△MAO与△MPQ相似,则有ha:h=AO:PQ=AO:b
△QBO与△QNM相似,则有hb:h=OB:MN=OB:a
AB=(AO+OB)=(b*ha/h+a*hb/h)
=(b*a/(a+b)+a*b/(a+b))
=2ab/(a+b)