设PQ是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦．已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于．

Question

设PQ是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦．已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于______．

Answer 1

设PD=x，EQ=y，
∵AB和AC的中点都在PQ上，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∵正△ABC的边长为1，
∴AD=BD=1，AE=CE=1，DE=(1)/(2)BC=1，
由相交弦定理得：PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，
即x（(1)/(2)+y）=(1)/(2)×(1)/(2)y（(1)/(2)+x）=(1)/(2)×(1)/(2)，
解得：x=y，
即；x（(1)/(2)+x）=(1)/(4)，
解得：x=(√(5))/(4)-(1)/(4)，
∴PQ=2×（(√(5))/(4)-(1)/(4)）+(1)/(2)=(√(5))/(2)．
故答案为：(√(5))/(2)．