设f（x）=（1+x2）arctanx，试将f（x）展开成x的幂级数，并求级数∞n＝1(−1)n+14n2−1的和．

Question

设f（x）=（1+x²）arctanx，试将f（x）展开成x的幂级数，并求级数

∞

n＝1

((−1)n+1)/(4n2−1)的和．

Answer 1

由于arctanx＝

∞

n＝1

((−1)nx2n+1)/(2n+1)（x∈R），因此
f（x）=（1+x²）arctanx=

∞

n＝1

((−1)n(1+x2)x2n+1)/(2n+1)
又级数

∞

n＝1

((−1)n+1)/(4n2−1)=(1)/(2)

∞

n＝1

(−1)n+1((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))
=(1)/(2)

∞

n＝0

(−1)n+1(1)/(2n+1)−(1)/(2)

∞

n＝1

(−1)n+1(1)/(2n+1)
而f(x)＝

∞

n＝1

((−1)nx2n+1)/(2n+1)−

∞

n＝1

((−1)nx2n+3)/(2n+1)
=−

∞

n＝0

((−1)n+1x2n+1)/(2n+1)+

∞

n＝1

((−1)n+1x2n+3)/(2n+1)
∴级数

∞

n＝1

((−1)n+1)/(4n2−1)=−(1)/(2)f(1)＝−(1)/(2)•2•(π)/(4)＝−(π)/(4)