高数积分题Sxarctanxin(1+x^2)dx=1/2Sarctanxln(1+x^2)dx^2=1/2[x^2arctanxln(1+x^2)-Sx^2darctanxln(1+x^2)]=?然后怎么化简?不要从别的知道问题黏贴的，看不太懂而且方法不大一样。

Question

高数积分题
Sxarctanxin(1+x^2)dx=1/2Sarctanxln(1+x^2)dx^2=1/2[x^2arctanxln(1+x^2)-Sx^2darctanxln(1+x^2)]=?
然后怎么化简?
不要从别的知道问题黏贴的，看不太懂而且方法不大一样。

Answer 1

∫xarctanxln(1+x²)dx=(1/2)∫arctanxln(1+x²)d(1+x²)
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx-∫(ln(1+x²)-1)dx] (应用分部积分法)
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx+x-∫ln(1+x²)dx]
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx+x-xln(1+x²)+2∫(x²/(1+x²))dx] (应用分部积分法)
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx+x-xln(1+x²)+2∫(1-1/(1+x²))dx]
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx+x-xln(1+x²)+2x-2arctanx]+C (C是积分常数)
=(1/2)[(1+x²)(ln(1+x²)-1)arctanx-xln(1+x²)+3x-2arctanx]+C.