求（x^2）*arctanx的不定积分（答案用的分部积分和第一类换元法有一步是x^2替换为1+x^2没看懂）

Question

求 （x^2）*arctanx 的不定积分
（答案用的分部积分和第一类换元法有一步是x^2替换为1+x^2没看懂）

Answer 1

∫ x²arctanx dx = 1/3 ∫ arctanx d x³
单独求 ∫ arctanx d x³ = x³arctanx - ∫ x³/1+x² dx
=x³arctanx - 1/4 ∫ 1/1+x² dx^4
对于 ∫ 1/1+x² dx^4
令t = x²
∫1/1+t d t² = ∫ 2t/1+t = 2 ∫ t/1+t dt =2 ∫ ( 1 - 1/1+t)dt
= 2t - 2ln(1+t) +C1
=2x² - 2ln(1+x²）+C1
代回上式：
得：原积分 = 1/3x³arctanx - 1/6x² + 1/6ln(1+x²） + C
注：积分方法不止一种,比如用t换元那一步,如果熟练的话可以不用,而是在分子部分+x-x 直接配.