已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC+BCAC+AB2BC•AC的最大值为2222．

Question

已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则(AC)/(BC)+(BC)/(AC)+(AB2)/(BC•AC)的最大值为

2√(2)

2√(2)

．

Answer 1

在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
所以(AC)/(BC)+(BC)/(AC)+(AB2)/(BC•AC)=(b2+a2+c2)/(ab)
因为c²=a²+b²-2abcosC，
所以(b2+a2+c2)/(ab)=(c2+2abcosC +c2)/(ab)=(2c2+2abcosC)/(ab)，
△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，
所以(1)/(2)absinC＝(1)/(2)c2，
即absinC=c²，
∴(AC)/(BC)+(BC)/(AC)+(AB2)/(BC•AC)
=(2absinC +2abcosC)/(ab)
=2sinC+2cosC
=2√(2)sin（C+(π)/(4)）≤2√(2)．
(AC)/(BC)+(BC)/(AC)+(AB2)/(BC•AC)的最大值为：2√(2)．
故答案为：2√(2)．