如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中

Question

如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=(1)/(2)∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中

∠FBD＝∠DAN

BD＝AD

∠BDF∠ADN

∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN∴①正确；
在△AFB和△△CNA中

∠BAF＝∠C＝45°

AB＝AC

∠ABF＝∠CAN＝22.5°

∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，∴②正确；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正确；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；
即正确的有4个，
故选D．