如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．

（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．

Answer 1

（1） ∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，

AB=AC

AD=AD

DB=DC

，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=(1)/(2)（360°-60°）=150°．

（2） 结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，

AB=EB

∠ADB=∠BCE=150°

∠ABD=∠CBE

，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．

（3） 连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=(1)/(2)DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．