如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为EF的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=23，∠CAD=30°时．求AD的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为

EF

的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=2√(3)，∠CAD=30°时．求

AD

的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵

DE

＝

DF

，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=(AD)/(cos∠EAD)＝(2√(3))/((√(3))/(2))=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴

AD

的长=(120π×2)/(180)＝(4)/(3)π．