倒数与循环节的关系我注意到7,17,19.等质数的倒数为无限循环小数,且循环节长度为6,16,18.,也就是分母减1.但11,13,31等就没有这种关系.这种循环节长度等于分母减1的特性有什么规律?是否有这种

Question

倒数与循环节的关系
我注意到7,17,19.等质数的倒数为无限循环小数,且循环节长度为6,16,18.,也就是分母减1.但11,13,31等就没有这种关系.这种循环节长度等于分母减1的特性有什么规律?是否有这种特性的数就是质数?

Answer 1

可以证明一定为质数.
实际上,设n > 1是与10互质的正整数,可以证明1/n的循环节长度一定是φ(n)的约数 (*).
其中φ为Euler函数,φ(n)表示不大于n并与n互质的正整数个数.
当n为合数时,易得φ(n) < n-1,进而φ(n)的约数 < n-1.
故1/n的循环节长度一定小于n-1.
所以使1/n的循环节长度为n-1的n一定为质数.
要证明(*),首先将循环节长度进行如下转换.
易知将1/n的小数点右移k位得到的数为10^k/n.
若k是1/n的循环节长度,则k是使得10^k/n与1/n小数部分相同的最小正整数,
也就是使(10^k-1)/n是整数,或者说使10^k-1被n整除的最小正整数.
更为一般的,k是1/n小数部分的周期,当且仅当10^k-1被n整除.
其中循环节长度是最小的正周期,任意周期都是它的倍数.
数论中有Fermat-Euler定理:
若正整数a与n互质,φ为Euler函数,则a^φ(n)-1被n整除.
与此相关有原根的概念:
若k = φ(n)是使a^k-1被n整除的最小正整数,则称a是n的一个原根.
取a = 10,有(10^φ(n)-1)/n是整数.
由此可知φ(n)一定是1/n小数部分的一个周期.
而最小正周期(循环节长度)一定是φ(n)的约数,即(*).
当n为质数时,φ(n) = n-1,因此1/n的循环节长度是n-1的约数,可能等于n-1.
至于具体哪些质数的循环节长度为n-1,容易知道就是那些以10为原根的质数.
不过,据我所知,至今没有证明这样的质数有无穷多.