是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Question

是否存在常数a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=(n(n+1))/(12)（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
=(n(n+1))/(12)（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=(1)/(6)（a+b+c）①
令n=2，得22=(1)/(2)（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=(n(n+1))/(12)（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•2²+2•3²+…+k（k+1）²
=(k(k+1))/(12)（3k²+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•2²+2•3²+…+k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=(k(k+1))/(12)（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=((k+1)(k+2))/(12)（3k²+5k+12k+24）
=((k+1)(k+2))/(12)[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．