一只老鼠出生两个月后就能生小老鼠,小老鼠两个月后又能生小老鼠,假设每胎生十二个,问一开始给你一只刚出生的老鼠,十个月后有一共多少老鼠(假设没有死亡)?我的想法是:一个月后还是一

Question

一只老鼠出生两个月后就能生小老鼠,小老鼠两个月后又能生小老鼠,假设每胎生十二个,问一开始给你一只刚出生的老鼠,十个月后有一共多少老鼠(假设没有死亡)?
我的想法是:一个月后还是一只,两个月后就有1+12=13只,三个月后是1+12+12=25只,四个月后第一胎小老鼠也能生了,所以有12*12+12=156只,但是十个月后有多少啊?我算了六遍得了六个数全不对,应该怎么算啊?

Answer 1

先指出你的错误：
4月后,除了第一胎的12只小老鼠能生之外,最初的那只大老鼠也一直能生,还有之前的老鼠一直不死,所以是12×12＋1×12＋25＝181
其中12×12就是第一胎小老鼠的新生老鼠;1×12是最初大老鼠的新生老鼠;25就是3个月后总的老鼠,由于老鼠不死,所以要加上.
其实用不着我上面算得那么烦的,用下面的方法就很简单：
这是一个2阶递推数列,数列的前2项是初值,要算出来的,然后后面的就用递推公式推导.
a(1)=1,a(2)=13,这个没问题,算得仔细点就行.
接下来求出递推公式：
a(n+2)=12*a(n)+a(n+1)
解释一下：考虑n+2个月后,能生小老鼠的老鼠其实就是n个月后的老鼠个数!所以n+2个月后的老鼠就是n+1个月后的老鼠加上新生的老鼠.
因此
a(3)=12*a(1)+a(2)=12*1+13=25
a(4)=12*a(2)+a(3)=12*13+25=181
...
一直算到a(10)就行了.
其实本题就是著名的斐波那契数列的一个变型,好在只是算前十个月,要是算通项公式的话就烦了.要用矩阵对角化,特征值什么的.
LZ有问题再讨论.