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1,1,2,3,5,8,13…由此下去,第二十个是多少?并写出相关的关系式?前面20个数相加是多少?
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1,1,2,3,5,8,13…由此下去,第二十个是多少?并写出相关的关系式?前面20个数相加是多少?
▼优质解答
答案和解析
这个数列是斐波那契数列.通项公式是比内公式——[(1+√5)/2]^n /√5 - [(1-√5)/2]^n /√5
它的证明如下:
记第n个数为F{n},则F1=1,F2=1,且F{n+2}=F{n+1}+F{n}——(×)
在(×)式中两边同加上k×F{n+1}得F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)F{n+1}+F{n}——①
由于k可以是任意实数,因此k可以取一个特殊的值,使①式化为等比数列的递推公式
即F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)×【F{n+1}+kF{n}】——②
因此F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)^n×【F2+kF1】——③
现在来求k.对比①,②式,只有F{n}的系数不同
所以1=(1+k)×k,解得k1=½(﹣1+√5),k2=½(﹣1-√5)
代入③式可得两个式子,将它们相加减,并化简,即可得比内公式.
至于前n项和,可写出以下等式
F{n+2}=F{n+1}+F{n}
F{n+1}=F{n}+F{n-1}
F{n}=……
……
F3=F2+F1
两边求和,并消去相同的项得F{n+2}=F2+前n项和
因此“前n项和”=F{n+2}-1
具体数值你自己带进去算吧
它的证明如下:
记第n个数为F{n},则F1=1,F2=1,且F{n+2}=F{n+1}+F{n}——(×)
在(×)式中两边同加上k×F{n+1}得F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)F{n+1}+F{n}——①
由于k可以是任意实数,因此k可以取一个特殊的值,使①式化为等比数列的递推公式
即F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)×【F{n+1}+kF{n}】——②
因此F{n+2}+kF{n+1}=(1+k)^n×【F2+kF1】——③
现在来求k.对比①,②式,只有F{n}的系数不同
所以1=(1+k)×k,解得k1=½(﹣1+√5),k2=½(﹣1-√5)
代入③式可得两个式子,将它们相加减,并化简,即可得比内公式.
至于前n项和,可写出以下等式
F{n+2}=F{n+1}+F{n}
F{n+1}=F{n}+F{n-1}
F{n}=……
……
F3=F2+F1
两边求和,并消去相同的项得F{n+2}=F2+前n项和
因此“前n项和”=F{n+2}-1
具体数值你自己带进去算吧
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