1,1,2,3,5,8,13…由此下去,第二十个是多少?并写出相关的关系式?前面20个数相加是多少?

Question

1,1,2,3,5,8,13…由此下去,第二十个是多少?并写出相关的关系式?前面20个数相加是多少?

Answer 1

这个数列是斐波那契数列.通项公式是比内公式——[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5
它的证明如下：
记第n个数为F{n},则F1=1,F2=1,且F{n+2}=F{n+1}+F{n}——（×）
在（×）式中两边同加上k×F{n+1}得F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）F{n+1}+F{n}——①
由于k可以是任意实数,因此k可以取一个特殊的值,使①式化为等比数列的递推公式
即F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）×【F{n+1}+kF{n}】——②
因此F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）^n×【F2+kF1】——③
现在来求k.对比①,②式,只有F{n}的系数不同
所以1=（1+k）×k,解得k1=½（﹣1+√5）,k2=½（﹣1-√5）
代入③式可得两个式子,将它们相加减,并化简,即可得比内公式.
至于前n项和,可写出以下等式
F{n+2}=F{n+1}+F{n}
F{n+1}=F{n}+F{n-1}
F{n}=……
……
F3=F2+F1
两边求和,并消去相同的项得F{n+2}=F2+前n项和
因此“前n项和”=F{n+2}－1
具体数值你自己带进去算吧