有关三角函数的问题已知三角形的三边有关系根号[a^2+b^2-2abcos(c+X)]=根号[b^2+c^2-2bccos(A+X)],其中角X的范围是[pi/2,2pi/3],求证三角形是等腰三角形.

Question

有关三角函数的问题
已知三角形的三边有关系 根号[a^2+b^2-2abcos(c+X)]=根号[b^2+c^2-2bccos(A+X)],其中角X的范围是[pi/2,2pi/3],
求证三角形是等腰三角形.

Answer 1

证明：
由(a^2+b^2-2abcos(C+X))½=(b^2+c^2-2bccos(A+X))½
两边平方整理可得：a^2-c^2=2b(acos(C+X)-ccos(A+X)).
又b^2+c^2-2bccosA=a^2 ①
a^2+b^2-2abcosC=c^2 ②
①-②得a^2-c^2=c^2-a^2+2b(acosC-ccosA)
整理得a^2-c^2=b(acosC-ccosA)
又a^2-c^2=2b(acos(C+X)-ccos(A+X))
所以acosC-ccosA=2(acos(C+X)-ccos(A+X))
即acosC-ccosA=2(acos(C+X)-ccos(A+X))
=2acosCcosX-2asinCsinX-2ccosAcosX+2csinAsinX
移项、合并同类项：
acosC(1-2cosX)-ccosA(1-2cosX)=2sinX(csinA-asinC)
即（acosC-ccosA)(1-2cosX)=2sinX(csinA-asinC)
根据正弦定理得：(sinAcosC-sinCcosA)(1-2cosX)=2sinX(sinCsinA-sinAsinC)
即 sin(A-C)(1-2cosX)=0
又X属于(pi/2,2pi/3)所以1-2cosX不等于0
则只能sin(A-C)=0
又A,C属于0~pi,且不等于0和pi,
则只能A=C.
即两角相等,所以为等腰三角形.
证毕
补充：
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R