研究函数f（x）=∫+∞0e-xt21+t2dt的连续性及可微性．

Question

研究函数f（x）=

∫

+∞ 0

(e-xt2)/(1+t2)dt的连续性及可微性．

Answer 1

证明：设f(x，t)=

∫

+∞ 0

(e-xt2)/(1+t2)dt，则
当x∈[0，+∞）时，由(e-xt2)/(1+t2)≤(1)/(1+t2)，而

∫

+∞ 0

(1)/(1+t2)dt收敛，
从而f（x）在[0，+∞）上一致收敛，
故f（x）在[0，+∞）上连续．
对(e-xt2)/(1+t2)关于x求导得ft′(x，t)=(-t2e-xt2)/(1+t2)
因为|(-t2)/(1+t2)|≤1，一致有界，而e-xt2单调递减趋于0．
所以由狄利克雷判别法知

∫

+∞ 0

(-t2e-xt2)/(1+t2)dt在[0，+∞）上一致收敛．
故f（x）在[0，+∞）上可微的