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求定积分∫（1,-1）1/（1+e^1/x)dx
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求定积分∫（1,-1） 1/（1+e^1/x)dx
▼优质解答
答案和解析
换元法,令x=-u,则dx=-du,u：1→-1
∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx
=-∫[1→-1] 1/[1+e^(-1/u)] du
=∫[-1→1] 1/[1+e^(-1/u)] du
分子分母同乘以e^(1/u)
=∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
这样,我们证明了：∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx = ∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
等式两边相加,得：
∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx + ∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
=∫[-1→1] 1 dx
=2
因此等式左右两边都等于1,本题结果为1.
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∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx
=-∫[1→-1] 1/[1+e^(-1/u)] du
=∫[-1→1] 1/[1+e^(-1/u)] du
分子分母同乘以e^(1/u)
=∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
这样,我们证明了：∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx = ∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
等式两边相加,得：
∫[-1→1] 1/[1+e^(1/x)] dx + ∫[-1→1] e^(1/u)/[e^(1/u)+1] du
=∫[-1→1] 1 dx
=2
因此等式左右两边都等于1,本题结果为1.
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