ln(1+x)在0到1的定积分是多少

Question

ln(1+x)在0到1的定积分是多少

Answer 1

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.
ln(1+x)/x=1-x/2+x^2/3-x^3/4+.
积分=1-1/4+1/9-1/16+.+(-1)^(n-1)/n²+...
=π²/12
如果将f=x²在[0,π]展开成余弦级数,可以得到：
1-1/4+1/9-1/16+.+(-1)^(n-1)/n²+...=π²/12