级数化为和函数时,用到的积分为何是从0积到x而不用不定积分?

Question

级数化为和函数时,用到的积分为何是从0积到x而不用不定积分?

Answer 1

首先,不定积分是个函数.有的人可能就要说了,这不就是废话嘛.但是废话往往能解决很多问题.我想先做个类似的比喻,在很久很久以前人们不懂得怎么求面积的时候,用的是数格子的方法,而定积分就相当于数格子,只是一种比较高明的数法.而不定积分就是一种求面积的公式了,也就是函数了.我先要彻底对不定积分是个数,和定积分是个函数的概念,先给出几个问题.1.为什么同一道不定积分的题,不同人做能做出千奇百怪的答案,而这些答案又都是对的?（甚至有一年考研的不定积分题给出了九个参考答案）2.为什么一道定积分的题,尽管你用不同的“方法”做的,但是仔细分析一下,不管你是怎么换的元,作法的先后顺序如何,其实作法本质都是一样的,换句话说,定积分只有那么一道作法.3.为什么泰勒公式可以把函数展开成很多个幂函数相加?4.同上,为什么有级数的存在?5.为什么非初等函数的不定积分不可积,而为什么非初等函数定积分却可以通过一元变二元,或者常数变变量然后在逼近的方式来进行计算?6.为什么含有第二类间断点的不定积分绝对求不出来,而含有第二类间断点的定积分缺有可能积出来?.等等一系列的问题,其实道理只有一个,那就是定积分是个数,不定积分是个函数!我们知道1/2+1/2和1的本质是一样的,也可以知道x/2+x/2和x的本质一样的,那么可以一眼看出in|secx+tanx|和1/2in（1-sinx）-1/in（1+sinx）的本质是一样的嘛,甚至是in2和in|2secx+2tanx|-1/2in（1-sinx）-1/in（1+sinx）是同一个函数嘛?当然,这种三角函数公式,指数性质还有对数恒等式,以及配方等等造成一个函数能有多种表现形式,只是一种比较低级的原因.更高级的是泰勒展开式,我们都知道任何函数只要有n阶导数都可以展开成泰勒展开式,那么对其中的某m项单独合并成一个函数,剩下的n-m项再合并为一个函数,那就可以得出你看不出来的函数了.甚至是在原来的基础上加上m项然后在剪掉m项而成为一个函数减一个函数的样子了.事实上欧拉公式就是这么来的,e^ix=cosx+isinx,相信理解了这一点,理解傅立叶级数也好一些了.那么要真有大神,能得出这样不定积分来了,那也只能给九个参考答案了- -.定积分就是面积,为什么好说的了,那就是你怎么数的问题,体积也是一样的,先横着数还是竖着数,那就随意了.所以定积分是很死板的,很固定的,解题也基本只有一个方法的.这也解释了为什么非初等函数不定积分积不出来但是定积分可以算出来的问题,你只有可以“数”（逼近）就行了.不一定每一个几何体都会有面积（体积）公式,但每一个几何体都一定会有面积（体积）.这也是为什么第二类间断点的不定积分肯定不存在,但定积分（面积）可能存在的问题.因为S(x)是关于x的函数,无论你是先求导还是先积分,最终得到的S(x)始终是关于x的函数.也就是说你选择0到x能保证上述这一点成立.