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求不定积分1/（1-x^2）^2
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求不定积分1/（1-x^2）^2
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答案和解析
令x = sinz,dx = cosz dz
∫ dx/(1 - x²)²
= ∫ 1/cos⁴z * (cosz dz)
= ∫ sec³z dz
= (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C
= (1/2)[x/√(1 - x²)][1/√(1 - x²)] + (1/2)ln|x/√(1 - x²) + 1/√(1 - x²)| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/2)ln|(1 + x)/√[(1 - x)(1 + x)]| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/2)ln|√(1 + x)/√(1 - x)| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/4)ln|(1 + x)/(1 - x)| + C
∫ dx/(1 - x²)²
= ∫ 1/cos⁴z * (cosz dz)
= ∫ sec³z dz
= (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C
= (1/2)[x/√(1 - x²)][1/√(1 - x²)] + (1/2)ln|x/√(1 - x²) + 1/√(1 - x²)| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/2)ln|(1 + x)/√[(1 - x)(1 + x)]| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/2)ln|√(1 + x)/√(1 - x)| + C
= x/[2(1 - x²)] + (1/4)ln|(1 + x)/(1 - x)| + C
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