求不定积分1/(x^2根号下x^2+1)

Question

求不定积分1/(x^2根号下x^2+1)

Answer 1

第一换元法(隐式)：
∫ 1/[x²√(x² + 1)] dx
= ∫ 1/[x³√(1 + 1/x²)] dx
= ∫ 1/√(1 + 1/x²) d(- 1/(2x²))
= (- 1/2)∫ 1/√(1 + 1/x²) d(1 + 1/x²)
= (- 1/2) * 2√(1 + 1/x²) + C
= - √(1 + 1/x²) + C
= - √(x² + 1)/x + C
第二换元法：
令x = tanz,dx = sec²z dz
∫ 1/[x²√(x² + 1)] dx
= ∫ 1/(tan²z|secz|) * (sec²z) dz
= ∫ csczcotz dz
= - cscz + C
= - √(1 + cot²z) + C
= - √(1 + 1/x²) + C
= - √(x² + 1)/x + C