不定积分x^3/(1+x)^6

Question

不定积分x^3/(1+x)^6

Answer 1

感谢zz19910622的提醒
∫ x^3/(1+x)^6dx
方法1：拆项算
令x^3/(1+x)^6=a/(1+x)+b/(1+x)^2+c/(1+x)^3+d/(1+x)^4+e/(1+x)^5+f/(1+x)^6
=[a(1+x)^5+b(1+x)^4+c(1+x)^3+d(1+x)^2+e/(1+x)+f ]/(1+x)^6
看分子
五次方系数为0,则a=0
四次方系数为0,则b=0
=[c(x^3+3x^2+3x+1)+d(x^2+2x+1)+e(x+1)+f ]/(1+x)^6
三次方系数为1,则c=1
二次方系数为0,则3c+d=0,得d=-3
一次方系数为0,则3c+2d+e=0,得e=3
常数项为0,则c+d+e+f=0,得f=-1
综上积分分解为：∫1/(1+x)^3dx-3∫1/(1+x)^4dx+3∫1/(1+x)^5dx-∫1/(1+x)^6dx
=-(1/2)(1+x)^(-2)+(1+x)^(-3)-(3/4)(1+x)^(-4)+(1/5)(1+x)^(-5) +C
方法2：换元令1+x=u,x=u-1,dx=du
∫ x^3/(1+x)^6dx=∫ (u-1)^3/u^6du=∫ (u^3-3u^2+3u-1)/u^6du
=∫ (1/u^3-3/u^4+3/u^5-1/u^6)du=-1/(2u^2)+1/u^3-(3/4)/u^4+1/(5u)+C
=-(1/2)(1+x)^(-2)+(1+x)^(-3)-(3/4)(1+x)^(-4)+(1/5)(1+x)^(-5) +C