考试中,高数求救要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72立方厘米,底面边成1：2的关系,问各边多长时,才能使表面积最小?

Question

考试中,高数求救
要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72立方厘米,底面边成1：2的关系,问各边多长时,才能使表面积最小?

Answer 1

设底面的长是2x,宽是x,则底面积是2x^2,那么高是72/(2x^2)=36/x^2
表面积S=2(2x*x+2x*36/x^2+x*36/x^2)=2(2x^2+108/x)=4(x^2+54/x)=4(x^2+27/x+27/x)>=4*3( x^2*27/x*27/x)^1/3=12*9=108
当x^2=27/x,即X=3时S有最小值是:108平方厘米
即当底边长是6厘米,宽是3厘米时,S有最小值是:108平方厘米