如图所示，一半径为R1的不透明黑球外面包着一半径为R2的同心透明介质球层，R1R2＝23，球层介质的材料折射率n=1.35．球层外表面的右半部分（图中ABC球面）为磨沙面．现用平行光从左向右沿

Question

如图所示，一半径为R₁的不透明黑球外面包着一半径为R₂的同心透明介质球层，(R1)/(R2)＝(2)/(3)，球层介质的材料折射率n=1.35．球层外表面的右半部分（图中ABC球面）为磨沙面．现用平行光从左向右沿图中所示的方向照到球层上．（已知：在题给条件下，在图面内能到达ABC面上的各光线，随着入射角的增大其折射线与ABC面的交点是朝一个方向变动的，即没有往返的变动）
（1）试求ABC面上被照到的范围是什么图形（准确的结果用反三角函数表示即可）；
（2）若其他条件仍如题述，但介质球层的折射率依次取从n=1.35逐增到n≥(3)/(2)的各值．试定性的说出ABC球面上被照到的范围是如何变化的．
（已知：sin40°=0.64，sin45°=0.71，sin50°=0.77，
sin55°=0.82，sin60°=0.87，sin65°=0.91，
sin70°=0.94，sin75°=0.97，sin80°=0.98）

Answer 1

（1）据题意(R1)/(R2)=(2)/(3)，n=1.35，如图1所示．
A点折射：sini′_A=(1)/(n)
M点折射：sini_M=nsini′_M
M点折射光线于黑球相切：sini′_M=(R1)/(R2)
几何关系有：
∠BOQ′=180°-∠DOQ′
∠DOQ′=i_M+∠MOQ′
∠MOQ′=180°-2i′_M
得：∠BOQ′=2i′_M-i_M
同理∠BOP′=2i′_A-90°
前面已知：(R1)/(R2)=(2)/(3)，n=1.35，
sini′_A=(1)/(n)，
sini_M=nsini′_M，
sini′_M=(R1)/(R2)，
得：i′_A=47.8°
    i′_M=41.8°
    i_M=64.2°
还有：∠BOQ′=2i′_M-i_M
∠BOP′=2i′_A-90°
则得：∠BOQ′=19.4°，∠BOP′=5.6°，是同心圆环带．
（2）如图3所示．
已知

sini′A＝(1)/(n)

siniM＝nsini′M

sini′M＝(R1)/(R2)

n逐渐增大，由上可知i′_A、i′_M、逐渐变小，被照范围：圆环⇒圆盘⇒圆环．
答：
（1）ABC面上被照到的范围是同心圆环带图形．
（2）ABC球面上被照到的范围从圆环⇒圆盘⇒圆环．