如图．在平面直角坐标系中，将一个等腰△ABC放在x轴上，C与O重合，AB=AC，A（-3，2）．将等腰△ABC沿x轴向右平移，使A点恰好落在双曲线y=2x．（1）求平移后B点、C的坐标；（2）在y轴上是否

Question

如图．在平面直角坐标系中，将一个等腰△ABC放在x轴上，C与O重合，AB=AC，A（-3，2）．将等腰△ABC沿x轴向右平移，使A点恰好落在双曲线y=(2)/(x)．

（1）求平移后B点、C的坐标；
（2）在y轴上是否存在-点P，使得△ABP的内心恰好在y轴上？若存在．请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，M点的坐标为（1，t），过O、C、M三点作O₁．过O作0M的垂线交 O₁于点N，NK⊥x轴于点K，垂足为K．当t的值发生变化时 （t≠0）KN的长度的值是否改变？若不变，请求其值；若改变．请求其值变化的范围．

Answer 1

（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，
∵AB=AC，
∴BH=OH=3，
∴B（-6，0）
当y=2时，(2)/(x)=2，解得x=1，即平移后A点坐标为（1，2），
∴等腰△ABC沿x轴向右平移了4个单位，
∴平移后B点坐标为（-2，0）、C的坐标为（4，0）；
（2）存在．
作AM⊥y轴于M，如图1，
∵△ABP的内心在y轴上
∴OP平分∠BPA，即∠BPM=∠APM，
∴Rt△OPB∽△MPA，
∴(AM)/(OB)=(PM)/(PO)，即(1)/(2)=(PO-2)/(PO)，解得OP=4，
∴P点坐标为（0，4）；
（3）KN的长度的值变化．
过M点作MQ⊥y轴于Q，ME⊥x轴于E，连结MN、CM，如图2，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，即∠MOK+∠NOK=90°，
而∠MOK+∠MOQ=90°，
∴∠MOQ=∠NOK，
∴Rt△OMQ∽Rt△ONK，
∴(QM)/(NK)=(OM)/(ON)，
∵∠MCE=∠MNO，
∴Rt△OMN∽Rt△EMC，
∴(OM)/(ME)=(ON)/(CE)，即(OM)/(ON)=(ME)/(CE)，
∴(QM)/(NK)=(ME)/(CE)，即(1)/(NK)=(t)/(4-1)，
∴NK=(3)/(t)，
当t变化时，NK的长度也发生变化．