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三角形a,b,c等差,证B
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三角形a,b,c等差,证B
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答案和解析
由于2b=a+c
所以根据余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=[(a+c)^2-b^2-2ac]/2ac
={(a+c)^2-[(a+c)/2]^2}/2ac-1
=3(a+c)^2/8ac-1
≥12ac/8ac-1
=1/2
所以B≤60度,
又根据正弦定理
2sinB=2sin(A+C)=sinA+sinC
左边用二倍角公式,右边和化积得：
4sin(A+C)/2cos(A+C)/2=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2
所以2cos(A+C)/2=cos(A-C)/2
所以根据余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=[(a+c)^2-b^2-2ac]/2ac
={(a+c)^2-[(a+c)/2]^2}/2ac-1
=3(a+c)^2/8ac-1
≥12ac/8ac-1
=1/2
所以B≤60度,
又根据正弦定理
2sinB=2sin(A+C)=sinA+sinC
左边用二倍角公式,右边和化积得：
4sin(A+C)/2cos(A+C)/2=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2
所以2cos(A+C)/2=cos(A-C)/2
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