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已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等差数列.(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)若bn=an+log21an,Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn.
题目详情
已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等差数列.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若bn=an+log2
,Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若bn=an+log2
1 |
an |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵2,an,Sn成等差数列.∴2an=Sn+2.
n=1时,2a1=a1+2,解得a1=2.
n≥2时,2an-1=Sn-1+2.
可得2an-2an-1=an,即an=2an-1.
∴数列{an}是等比数列,公比为2,首项为2.
(2) 由(1)可得:an=2n.
∴bn=an+log2
=2n-n,
∴数列{bn}的前n项和Tn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)
=
-
=2n+1-2-
.
n=1时,2a1=a1+2,解得a1=2.
n≥2时,2an-1=Sn-1+2.
可得2an-2an-1=an,即an=2an-1.
∴数列{an}是等比数列,公比为2,首项为2.
(2) 由(1)可得:an=2n.
∴bn=an+log2
1 |
an |
∴数列{bn}的前n项和Tn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)
=
2(2n-1) |
2-1 |
n(n+1) |
2 |
=2n+1-2-
n(n+1) |
2 |
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