已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列．（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）若bn=an+log21an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n+log₂(1)/(an)，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

（1）证明：∵2，a_n，S_n成等差数列．∴2a_n=S_n+2．
n=1时，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2．
可得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为2．
（2） 由（1）可得：a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_n+log₂(1)/(an)=2ⁿ-n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=(2(2n-1))/(2-1)-(n(n+1))/(2)
=2ⁿ⁺¹-2-(n(n+1))/(2)．