设数列an的前项和为Sn已知Sn=2an-2^(n+1)求证数列为等差数列an设bn=log以an/(n+1)为底2的对数,数列{bn}的前n项和为Bn,若存在整数m,对任意n属于正整数且n>=2,都有B3n-Bn>m/20成立,求m的最大值

Question

设数列an的前项和为Sn已知Sn=2an-2^(n+1)求证数列为等差数列an
设bn=log以an/(n+1)为底 2的对数,数列{bn}的前n项和为Bn,若存在整数m,对任意n属于正整数且n>=2,都有B3n-Bn>m/20成立,求m的最大值 拜托了,在线等

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中给出的设数列{an}的前n项和为Sn便可求出数列{an/2^n}是公差为1的等差数列,将a1=4代入便可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列bn的通项公式,然后求写前n项和Bn的表达式,进而求出的B3n-Bn表达式,然后证明B3n-Bn为递增数列,即当n=2时,B3n-Bn最小,便可求出m的最大值．

（Ⅰ）由Sn=2an-2^(n+1),得S(n-1)=2(an-1)-2^n（n≥2）．
两式相减,得an=2an-2a(n-1)-2^n,即an-2a(n-1)=2^n（n≥2）．
于是an/2^n - a(n-1)/2^(n-1)=1,所以数列{an/2^n}是公差为1的等差数列．
又S1=a1=2a1-2^2,所以a1=4．
所以an/2n=2+（n-1）=n+1,故an=（n+1）•2^n．
（注：该问也可用归纳,猜想,数学归纳法证明的方法）
（Ⅱ）因为bn=log an/(n+1)^2=log 2n^2=1/n,则B3n-Bn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/3n．
令f（n）=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/3n,
则f（n+1）=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/3n+1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)．
所以f（n+1）-f（n）=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-1/(n+1)=1/(3n+1)+1/(3n+2)-2/(3n+3)＞1/(3n+3)+1/(3n+3)-2/(3n+3)=0．
即f（n+1）＞f（n）,所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时,f（n）的最小值为f（2）=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20．
据题意,m/20＜19/20,即m＜19．又m为整数,
故m的最大值为18．