数列1^4+2^4+3^4+.+n^4的通项公式求和

Question

数列1^4+2^4+3^4+.+n^4的通项公式
求和

Answer 1

首先要知道1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
实际上上面两个公式的求法和题目的方法是一样的
2^5=(1+1)^5=1^5+5×1^4+10×1^3+10×1^2+5×1^1+1
3^5=(2+1)^5=2^5+5×2^4+10×2^3+10×2^2+5×2^1+1
……
(n+1)^5=n^5+5×n^4+10×n^3+10×n^2+5×n^1+1
上式相加,相同项消去
(n+1)^5=1^5+5×(1^4+2^4+……+n^4)+10×(1^3+2^3+……+n^3)+10×(1^2+2^2+……n^2)+5×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
5×(1^4+2^4+……+n^4)=(n+1)^5-10×[n(n+1)/2]^2-10×n(n+1)(2n+1)/6-5×n(n+1)/2-n-1
化简得1^4+2^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30