已知数列{an}中，a1=l，在a1，a2之间插人1个数，在a2，a3之间插人2个数，在a3，a4之间插入3个数，…，在an，an+1之间插人n个数，使得所有插人的数和原数列{an}中的所有项按原有位置顺序构成一

Question

已知数列{a_n}中，a₁=l，在a₁，a₂之间插人1个数，在a₂，a₃之间插人2个数，在a₃，a₄之间插入3个数，…，在a_n，a_n+1之间插人n个数，使得所有插人的数和原数列{a_n}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{b_n}．
（1）若a₃=11，求{b_n}的通项公式；
 （2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足√(2Sn+λ)=b_n+μ（λ，μ为常数），求{a_n}的通项公式•

Answer 1

（1）设{b_n}的公差为d，由题意：数列{b_n}的前几项为：
b₁=a₁=1，b₂，b₃=a₂，b₄，b₅，b₆=a₃，即a₃为{b_n}的第六项，
则b₆=b₁+5d=11，
而b₁=1，∴d=2，
故数列{b_n}的通项公式为b_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由√(2Sn+λ)=bn+μ（λ，μ为常数），
得2Sn+λ=(bn+μ)2=bn2+2μbn+μ2，①
当n≥2时，2Sn-1+λ=bn-12+2μbn-1+μ2，②
①-②得2bn=bn2-bn-12+2μ(bn-bn-1)，
则2b_n=d（b_n+b_n-1）+2μd=d（2b_n-d）+2μd，
即(2-2d)bn=2μd-d2．
当d≠1时，bn=(2μd-d2)/(2-2d)(n≥2)为常数，
∵{b_n}是正项等差数列，∴d=0，
则b_n=0，与b₁=a₁=1矛盾，∴d=1．
∴等差数列{b_n}的首项为1，公差d=1，则b_n=n．
设数列{a_n}中的第n项为数列{b_n}中的第k项，
则a_n前面共有{a_n}的n-1项，
又插入了1+2+…+（n-1）=(n(n-1))/(2)项，
则k=（n-1）+(n(n-1))/(2)+1=(n2+n)/(2)．
故an=bk=k=(n2+n)/(2)．