一道较难数学题已知a+b+c=abc求证a(1-2b)(1-2c)+b(1-2a)(1-2c)+c(1-2a)(1-2b)=4abcc(1-a^2)(1-b^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+a(1-b^2)(1-c^2)=4abc若题目为紧,则如何证明?

Question

一道较难数学题
已知a+b+c=abc
求证a(1-2b)(1-2c)+b(1-2a)(1-2c)+c(1-2a)(1-2b)=4abc
c(1-a^2)(1-b^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+a(1-b^2)(1-c^2)=4abc
若题目为紧,则如何证明?

Answer 1

原题目不成立,证明如下:
如果a=0,c=-b≠0,这符合已知条件.
a(1-2b)(1-2c)+b(1-2a)(1-2c)+c(1-2a)(1-2b)
=0*(1-2b)(1-2c)+b(1-2*0)(1-2c)+c(1-2*0)(1-2b)
=b(1-2c)+c(1-2b)
=b(1+2b)-b(1-2b)
=b+2b∧2-b+2b∧2
=4b∧2
如果求证内容成立,则4b∧2=4abc=4*0*bc=0
则b∧2=0,则b=0与假设矛盾,因此原求证内容不成立
新求证成立：
c(1-a^2)(1-b^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+a(1-b^2)(1-c^2)
=(c-a^2 c)(1-b^2)+(b-a^2 b)(1-c^2)+(a-ab^2)(1-c^2)
=c-b^2 c-a^2 c+a^2 b^2 c+b-bc^2-a^2 b+a^2 bc^2+a-ac^2-ab^2+ab^2 c^2
=(a+b+c)-(b^2 c+bc^2+ac^2+a^2c+a^2 b+ab^2)
+(a^2 b^2 c+a^2 bc^2+ab^2 c^2)
=abc-+abc(ab+ac+bc)
=abc-+abc(ab+ac+bc)
=4abc